Fundamentalny zbiór rozwiązań dla równań różniczkowych liniowych wyższych rzędów

Niech

\( a_{n}(t)y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + a_{1}(t)y^{\prime}(t)+a_{0}(t)y(t)=f(t) \)

będzie równaniem różniczkowym liniowym rzędu \( \hskip 0.3pc n,\hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) jest nieznaną funkcją a dane funkcje \( \hskip 0.3pc f(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc a_{k}(t),\: k=0,\ldots n\hskip 0.3pc \) są ciągłe i określone w przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}.\hskip 0.3pc \)
Przez przedział \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) rozumiemy jeden z następujących zbiorów: \( \hskip 0.3pc (a,b),\hskip 0.3pc (-\infty,a), \) \( (a,+\infty ) \hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc \mathbb{R}\hskip 0.3pc \).

Uwaga 1:

Jeżeli współczynnik \( \hskip 0.3pc a_n(t)\hskip 0.3pc \) przy pochodnej najwyższego rzędu w równaniu ( 1 ) jest różny od zera dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I,\hskip 0.3pc \) to równanie to można zapisać w postaci

(2)

\( y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)y^{\prime}(t)+b_{0}(t)y(t)=g(t)\hskip 0.3pc \)

gdzie \( \hskip 0.3pc b_k(t)=\frac{a_k(t)}{a_n(t)}, k=0,\ldots ,n-1\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc g(t)=\frac{f(t)}{a_n(t)}\hskip 0.3pc \).

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

Funkcje \( \hskip 0.3pc b_{k}(t),\: k=0,\ldots n-1\hskip 0.3pc \) są ciągłe w przedziale \( \hskip 0.3pc I\subset \mathbb{R}.\hskip 0.3pc \)

TEZA:

Wtedy dla równania jednorodnego

(3)

\( y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)y^{\prime}(t)+b_{0}(t)y(t)=0, \hskip 1pc t\in I \)

istnieje \( \hskip 0.3pc n\hskip 0.3pc \)-liniowo niezależnych rozwiązań \( \hskip 0.3pc y_1(t),\ldots ,y_n(t)\hskip 0.3pc \).

DOWÓD:

Niech \( \hskip 0.3pc t_0\hskip 0.3pc \) będzie dowolnym ustalonym punktem z przedziału \( \hskip 0.3pc I\hskip 0.3pc \) i niech \( \hskip 0.3pc y_k(t)\hskip 0.3pc \) będzie rozwiązaniem równania ( 3 ) z warunkiem początkowym:

\( y_k^{(i)}(t_0)=\begin{cases}1 & {\rm dla}\hskip 1pc i=k-1\\ 0 & {\rm dla} \hskip 1pc i \neq k-1 \end{cases}, \hskip 1.5pc {\rm gdzie}\hskip 1pc i=0,\hskip 0.3pc 1,\ldots , n-1. \)

Istnienie takiego rozwiazania wynika z twierdzenia 2 .
Z twierdzenia 1 wynika, że funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t),\ldots ,y_n(t)\hskip 0.3pc \) są liniowo niezależne ponieważ wrońskian

\( W(y_1(t_0),\ldots ,y_n(t_0))=\begin{vmatrix} 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1\end{vmatrix}=1 \)

jest różny od zera.

Uwaga 2:

Jeżeli funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t),\dots,\hskip 0.3pc y_n(t),\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami równania ( 2 ) i istnieje \( \hskip 0.3pc t_0\in I\hskip 0.3pc \) takie, że

\( W(y_1(t_0),\ldots ,y_n(t_0))\neq 0 \)

\( W(y_1(t),\ldots ,y_n(t))\neq 0\hskip 1.3pc{\rm dla\hskip0.2 pc każdego} \hskip 1pc t\in I. \)

Wynika to z faktu, że

\( W(y_1(t),\ldots ,y_n(t))=W(y_1(t_0),\ldots ,y_n(t_0))\cdot e^{-\int_{t_0}^tb_{n-1}(s)ds}. \)

Powyższą zależność wykażemy dla \( \hskip 0.3pc n=2.\hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc y_1(t),\hskip 0.3pc y_2(t),\hskip 0.3pc \) będą rozwiązaniami równania

\( y^{(\prime\prime)}(t)+b_1(t)y^{\prime}(t)+ b_{0}(t)y(t)=0. \)

Oznaczmy przez \( \hskip 0.3pc w(t):=W(y_1(t),y_2(t)).\hskip 0.3pc \) Różniczkując \( \hskip 0.3pc w(t)\hskip 0.3pc \) i uwzględniając, że \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)=-b_1(t)y^{\prime}(t)-b_0(t)y(t)\hskip 0.3pc \) otrzymujemy

\( \begin{aligned}w^{ \prime}(t)=&\left(y_1(t)y_2^{ \prime}(t)-y_1^{ \prime}(t)y_2(t)\right)^{ \prime}=y_1^{ \prime}(t) y_2^{\prime}(t)+y_1(t)\left(-b_1(t)y_2^{\prime}(t)-b_0(t)y_2(t)\right)-\\&\left(-b_1(t)y_1^{\prime}(t)-b_0(t)y_1(t)\right)y_2(t)-y_1^{\prime}(t)y_2^{\prime}(t)=-b_1(t)w(t)\end{aligned}. \)

Przekształcamy powyższe równanie i całkujemy w przedziale \( \hskip 0.3pc (t_0,\hskip 0.2pc t)\hskip 0.3pc \)

\( \int_{t_0}^t\frac{w^{\prime}(s)}{w(s)}ds=-\int_{t_0}^tb_1(s)ds\hskip 0.5pc \Longleftrightarrow \hskip 0.5pc \ln \left| \frac{w(t)}{w(t_0)}\right|= -\int_{t_0}^tb_1(s)ds. \)

Zatem

\( w(t)= w(t_0) e^{ -\int_{t_0}^tb_1(s)ds}. \)

Definicja 1: Fundamentalnego zbioru rozwiązań

Zbiór rozwiązań \( \hskip 0.3pc \{y_1(t),\dots,\hskip 0.3pc y_n(t)\},\hskip 0.3pc \) równania ( 2 ) będziemy nazywali fundamentalnym zbiorem rozwiązań , jeżeli dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I\hskip 0.3pc \) wrońskian \( \hskip 0.3pc W(y_1(t),\ldots ,y_n(t))\hskip 0.3pc \) jest różny od zera.

Uwaga 3:

Fundamentalny zbiór rozwiązań nie jest wyznaczony jednoznacznie. Dla danego równania istnieje nieskończenie wiele różnych fundamentalnych zbiorów rozwiązań.

Przykład 1:

Dla równania \( \hskip 0.3pc y^{\prime\prime}(t)+y^{\prime}(t)-2y(t)=0, \hskip 0.5pc t\in \mathbb{R}\hskip 0.3pc \) fundamentalnymi zbiorami rozwiązań są na przykład zbiory \( \hskip 0.3pc \{e^t,\;e^{-2t}\}\hskip 0.3pc \), \( \hskip 0.3pc \{e^t+e^{-2t},\;e^{-2t}\}\hskip 0.3pc \) lub \( \hskip 0.3pc \{e^t+e^{-2t},\;e^t-e^{-2t}\} \)

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

Niech zbiór \( \hskip 0.3pc \{y_1(t),\ldots ,y_n(t)\}\hskip 0.3pc \) będzie fundamentalnym zbiorem rozwiązań równania ( 3 ).

TEZA:

Wtedy dowolne rozwiązanie \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) równania ( 3 ) jest kombinacją liniową fundamentalnego zbioru rozwiązań, co możemy zapisać następująco:

\( y(t)=c_1y_1(t)+\cdots +c_ny_n(t) \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\ldots c_n \in\mathbb{R}\hskip 0.3pc \).

DOWÓD:

Niech funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) będzie dowolnym rozwiązaniem równania ( 3 ) i niech \( \hskip 0.3pc \{y_1(t),\ldots ,y_n(t)\}\hskip 0.3pc \) będzie fundamentalnym zbiorem rozwiązań tego równania. Dla dowolnego ustalonego \( \hskip 0.3pc t_0\in I\hskip 0.3pc \) rozważmy następujący układ równań

\( \begin{cases}c_1y_1(t_0)+\cdots + c_ny_n(t_0)=y(t_0) & \\ c_1y_1^{\prime}(t_0)+\cdots + c_ny_n^{\prime}(t_0)=y^{\prime}(t_0) & \\ \vdots &\\ c_1y_1^{(n-1)}(t_0)+\cdots + c_ny_n^{(n-1)}(t_0)=y^{(n-1)}(t_0) &\end{cases} \)

gdzie niewiadomymi sa \( \hskip 0.3pc c_1,\ldots ,c_n\hskip 0.3pc \).
Ponieważ wyznacznikiem powyższego układu jest wrońskian, który jest różny od zera, więc układ posiada dokładnie jedno rozwiązanie.

Definiujemy funkcję

\( Y(t)=c_1y_1(t)+\cdots +c_ny_n(t), \hskip 1pc t\in I, \)

gdzie współczynniki \( \hskip 0.3pc c_1,\ldots ,c_n\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniem powyższego układu. Z twierdzenia 1 wynika, że funkcja \( \hskip 0.3pc Y(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 3 ) i spełnia warunek początkowy \( Y^{(i)}(t_0)=y^{(i)}(t_0), i=0,\ldots ,n-1\hskip 0.3pc \). Z twierdzenia 2 wynika, że równanie ( 3 ) z powyższym warunkiem początkowym posiada dokładnie jedno rozwiązanie, zatem \( \hskip 0.3pc Y(t)=y(t)\hskip 0.3pc \) dla każdego \( \hskip 0.3pc t\in I,\hskip 0.3pc \) co kończy dowód twierdzenia.

Uwaga 4:

Pokażemy, że stałe \( \hskip 0.3pc c_1,\ldots ,c_n\hskip 0.3pc \) w twierdzeniu 2 określone są jednoznacznie. Dla dowodu nie wprost przypuśćmy, że mamy dwa różne przedstawienia

\( y(t)=c_1y_1(t)+\cdots +c_ny_n(t) \)

\( y(t)=\tilde{c_1}y_1(t)+\cdots +\tilde{c_n}y_n(t). \)

Odejmując stronami powyższe równania otrzymamy

\( 0=(c_1-\tilde{c_1})y_1(t)+\cdots +(c_n-\tilde{c_n})y_n(t). \)

Ponieważ funkcje \( y_1(t),\ldots, y_n(t) \) są liniowo niezależne, więc

\( c_1-\tilde{c_1}=c_2-\tilde{c_2}=\cdots =c_n-\tilde{c_n}=0, \)

co kończy dowód.

Uwaga 5:

Z twierdzenia 1 i twierdzenia 2 wynika, że zbiór wszystkich rozwiązań równania ( 2 ) jest przestrzenią wektorową wymiaru \( \hskip 0.3pc n.\hskip 0.3pc \) Zbiór fundamentalny rozwiązań tego równania jest bazą tej przestrzeni.

Twierdzenie 3:

ZAŁOŻENIA:

Zakładamy, że funkcje \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \tilde y(t)\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami równania ( 2 )

TEZA:

Wtedy różnica tych funkcji \( \hskip 0.3pc y(t)-\tilde y(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania jednorodnego ( 3 ).

DOWÓD:

Ponieważ funkcje \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \tilde y(t)\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami równania ( 2 ) więc zachodzą następujące równości:

\( y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)y^{\prime}(t)+b_{0}(t)y(t)=g(t) \)

\( \tilde y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)\tilde y^{(n-1)}(t)+\cdots + b_{1}(t)\tilde y^{\prime}(t)+b_{0}(t)\tilde y(t)=g(t). \)

Odejmując stronami powyższe równości otrzymujemy

\( y^{(n)}(t)-\tilde y^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)\left[y^{(n-1)}(t)-\tilde y^{(n-1)}(t)\right]+\cdots +b_{0}(t)\left[y(t)-\tilde y(t)\right]=0. \)

Uwzględniając fakt, że pochodna różnicy dwóch funkcji jest równa różnicy pochodnych tych funkcji, powyższą równość możemy zapisać następująco

\( \left(y-\tilde y\right)^{(n)}(t)+b_{n-1}(t)\left(y-\tilde y\right)^{(n-1)}(t)+\cdots +b_{0}(t)\left(y-\tilde y\right)(t)=0, \)

co kończy dowód twierdzenia.

Wniosek 1:

Z twierdzeń 1 i 2 wynika, że jeżeli \( \hskip 0.3pc Y(t)\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania ( 2 ) to dowolne rozwiązanie \( \hskip 0.3pc y(t)\hskip 0.3pc \) równania ( 2 ) jest postaci

\( y(t)=Y(t)+c_1y_1(t)+\cdots +c_ny_n(t) \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \{y_1(t),\ldots ,y_n(t)\}\hskip 0.3pc \) - jest fundamentalnym zbiorem rozwiązań jednorodnego równania ( 3 ).

Przykład 2:

Funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t)=e^t\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y_2(t)=e^{2t}\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami równania

(4)

\( y^{\prime\prime}(t)-3y^{\prime}(t)+2y(t)=0, \hskip 1pc t\in \mathbb{R}. \)

Pokażemy, że funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t)\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y_2(t)\hskip 0.3pc \) stanowią fundamentalny zbiór rozwiązań. W tym celu liczymy ich wrońskian

\( W(y_1(t),y_2(t))= \begin{vmatrix} e^{t} & e^{2t} \\ e^{t} & 2e^{2t} \end{vmatrix}=2e^{3t}-e^{3t}=e^{3t}\neq 0 \hskip 1pc ,t\in \mathbb{R}. \)

Zatem funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t),\; y_2(t)\hskip 0.3pc \) stanowią fundamentalny zbiór rozwiązań równania ( 4 ).
Stąd, na mocy twierdzenia 2, dowolne rozwiązanie równania ( 4 ) możemy zapisać w postaci

\( y(t)=c_1y_1(t)+c_2y_2(t)=c_1e^t+c_2e^{2t} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\;c_2\hskip 0.3pc \) są dowolnymi stałymi.

Wyznaczmy rozwiązanie równania ( 4 ) spełniające warunek początkowy

\( y(0)=1 \hskip 1pc {\rm i} \hskip 1pc y^{\prime}(0)=-1 . \)

Liczymy pochodną rozwiązania ogólnego która wynosi \( \hskip 0.3pc y^{\prime}(t)=c_1e^t+2c_2e^{2t}\hskip 0.3pc \).
Uwzględniając warunek początkowy otrzymujemy następujący układ równań

\( \begin{cases}y(0)=c_1e^0+c_2e^0=c_1+c_2=1, & \\ y^{\prime}(0)=c_1e^0+2c_2e^0=c_1+2c_2=-1 & \end{cases} \)

którego rozwiązaniem jest \( \hskip 0.3pc c_1=3\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc c_2=-2\hskip 0.3pc \). Zatem rozwiązaniem problemu początkowego jest funkcja \( \hskip 0.3pc y(t)=3e^t-2e^{2t}\hskip 0.3pc \).

Przykład 3:

Funkcje \( \hskip 0.3pc y_1(t)=t^2\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc y_2(t)=t^3\hskip 0.3pc \) są rozwiązaniami równania jednorodnego

\( 3t^2y^{\prime\prime}(t)-2ty^{\prime}(t)-2y(t)=0, \hskip 1pc t\in (0,+\infty ). \)

Stanowią one fundamentalny zbiór rozwiązań dla tego równania, ponieważ ich wrońskian nie jest równy zero

\( W(y_1(t),y_2(t))= \begin{vmatrix} t^2 & t^3 \\ 2t & 3t^2\end{vmatrix}=3t^4-2t^4=t^4, \hskip 1pc {\rm dla} \hskip 1pc t\in (0,\infty). \)

Zatem rozwiązanie ogólne tego równania ma postać

\( y(t)=c_1t^2+c_2t^3. \)

Rozważmy teraz równanie niejednorodne

\( 3t^2y^{\prime\prime}(t)-2ty^{\prime}(t)-2y(t)=-4t, \hskip 1pc t\in (0,+\infty ). \)

Funkcja \( \hskip 0.3pc y_0(t)=t^2+t\hskip 0.3pc \) jest rozwiązaniem równania niejednorodnego. Stąd, na mocy wniosku 1 rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego ma postać

\( y(t)=t^2+t+c_1t^2+c_2t^3, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c_1,\;c_2\hskip 0.3pc \) są dowolnymi stałymi.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Fundamentalny zbiór rozwiązań dla równań różniczkowych liniowych wyższych rzędów

Uwaga 1:

Twierdzenie 1:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Uwaga 2:

Definicja 1: Fundamentalnego zbioru rozwiązań

Uwaga 3:

Przykład 1:

Twierdzenie 2:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Uwaga 4:

Uwaga 5:

Twierdzenie 3:

ZAŁOŻENIA:

TEZA:

DOWÓD:

Wniosek 1:

Przykład 2:

Przykład 3: